考試題庫(kù) 初中 > 初中數(shù)學(xué)

5.如圖,在△AOB中,∠AOB為直角,OA=6,OB=8,半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā),沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿著AB方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻

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題目詳情:

5.如圖,在△AOB中,∠AOB為直角,OA=6,OB=8,半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā),沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿著AB方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t≤5)以P為圓心,PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D,連結(jié)CD、QC.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合?
(2)當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),求⊙P被OB截得的弦長(zhǎng).
(3)若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn),求t的取值范圍.

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2024-10-24 04:46:45

分析 (1)由題意知CD⊥OA,所以△ACD∽△ABO,利用對(duì)應(yīng)邊的比求出AD的長(zhǎng)度,若Q與D重合時(shí),則,AD+OQ=OA,列出方程即可求出t的值;
(2)由于0<t≤5,當(dāng)Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí),OQ=4,此時(shí)用時(shí)為4s,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E,利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長(zhǎng);
(3)若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn),分以下兩種情況,①當(dāng)QC與⊙P相切時(shí),計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間;②當(dāng)Q與D重合時(shí),計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間;由以上兩種情況即可得出t的取值范圍.

解答 解:(1)∵OA=6,OB=8,
∴由勾股定理可求得:AB=10,
由題意知:OQ=AP=t,
∴AC=2t,
∵AC是⊙P的直徑,
∴∠CDA=90°,
∴CD∥OB,
∴△ACD∽△ABO,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{OA}$,
∴AD=$\frac{6}{5}t$,
當(dāng)Q與D重合時(shí),
AD+OQ=OA,
∴$\frac{6}{5}t$+t=6,
∴t=$\frac{30}{11}$;

(2當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí),如圖1,
OQ=OA-QA=4,
∴t=$\frac{4}{1}$=4s,
∴PA=4,
∴BP=AB-PA=6,
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E,⊙P與OB相交于點(diǎn)F、G,
連接PF,
∴PE∥OA,
∴△PEB∽△AOB,
∴$\frac{PE}{OA}=\frac{BP}{AB}$,
∴PE=$\frac{18}{5}$,
∴由勾股定理可求得:EF=$\frac{2\sqrt{19}}{5}$,
由垂徑定理可求知:FG=2EF=$\frac{4\sqrt{19}}{5}$;

(3)當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)如圖2,
此時(shí)∠QCA=90°,
∵OQ=AP=t,
∴AQ=6-t,AC=2t,
∵∠A=∠A,
∠QCA=∠AOB,
∴△AQC∽△ABO,
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AC}{OA}$,
∴$\frac{6-t}{10}=\frac{2t}{6}$,
∴t=$\frac{18}{13}$,
∴當(dāng)0<t≤$\frac{18}{13}$時(shí),⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn),
當(dāng)QC⊥OA時(shí),
此時(shí)Q與D重合,
由(1)可知:t=$\frac{30}{11}$,
∴當(dāng)$\frac{30}{11}$<t≤5時(shí),⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn),
綜上所述,當(dāng),⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn),t的取值范圍為:0<t≤$\frac{18}{13}$或$\frac{30}{11}$<t≤5.

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題,涉及圓的切線判定,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),學(xué)生需要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來(lái)分析,并且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.

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