所有的"夾角"的和|四年級(jí)奧數(shù)題及答案

所有的"夾角"的和|四年級(jí)奧數(shù)題及答案
?兩條直線(xiàn)相交，四個(gè)交角中的一個(gè)銳角或一個(gè)直角稱(chēng)為這兩條直線(xiàn)的"夾角"（見(jiàn)圖4）。如果在平面上畫(huà)L條直線(xiàn)，要求它們兩兩相交，并且"夾角"只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，問(wèn)：（1）L的最大值是多少？（2）當(dāng)L取最大值時(shí)，問(wèn)所有的"夾角"的和是多少？

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?答案:（1）固定平面上一條直線(xiàn),其它直線(xiàn)與此條固定直線(xiàn)的交角自這條固定直線(xiàn)起逆時(shí)針計(jì)算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一種角度之一，所以，平面上最多有12條直線(xiàn)。否則，必有兩條直線(xiàn)平行。
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（2）根據(jù)題意，相交后的直線(xiàn)會(huì)產(chǎn)生15°、30°、45°、60°、75°的兩條直線(xiàn)相交的情況均有12種；他們的角度和是（15+30+45+60+75）×12=2700°；產(chǎn)生90°角的有第1和第7條直線(xiàn)；第2和第8條直線(xiàn)；第3和第9條直線(xiàn)；第4和第10條直線(xiàn)；第5和第11條直線(xiàn)；第6和第12條直線(xiàn)共6個(gè)，他們的角度和是90×6=540°；所以所有夾角和是2700+540=3240°。

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